NEW!【第76回 午前 75】グラフの読み取りで勝負あり？ オームの法則の交流バージョン！

理工学・放射線科学

交流電源の起電力の時間的変化を図に示す。

この交流電源を 0.10 μF のコンデンサに接続したとき流れる電流の最大値[mA]に最も近いのはどれか。

  1. 2
  2. 3.9
  3. 7.9
  4. 16
  5. 31

出典：厚生労働省公開PDF（令和6年版）

5．31

解説

この問題を解くためのカギは、「グラフから必要な数字を拾う」「単位を揃える」「交流のオームの法則にあてはめる」の3ステップです。一つずつクリアしていきましょう！

✔　ステップ1：グラフから「最大電圧」と「周期」を読み取る

グラフから読み取るべき情報は2つだけです。

  1. 最大電圧（Vm）：山のてっぺんの縦軸の値です。 グラフを見ると、一番高いところが「100」になっていますね。 つまり、最大電圧 Vm ＝ 100 [V] です。
  2. 周期（T）：波が1回振動する（1つの山と1つの谷を作る）のにかかる時間です。 0 からスタートして、最初の山のてっぺんが「0.5」です。ここは波の「1/4」の地点です。 1/4 で 0.5 ということは、丸々1個分（1周期）は「0.5 × 4 ＝ 2.0」になります。 ※山のてっぺん（0.5）から次の山のてっぺん（2.5）までの間隔を計算して「2.5 − 0.5 ＝ 2.0」と求めてもOKです！

ここで絶対に忘れてはいけないのが、横軸の単位「ms（ミリ秒）」です。「ミリ」は「10－3」なので、周期 T ＝ 2.0 × 10－3[s] になります。

✔　ステップ2：角周波数（ω：オメガ）を求める

波のスピードを表す「角周波数（ω）」を求めます。 公式は ω ＝ 2π / T です。（1周分の角度 2π を、1周にかかる時間 T で割るという意味です）

さきほどの周期を代入すると、 ω ＝ 2π / (2.0 × 10-3) 2と2.0が約分されて消えるので、 ω ＝ π × 103[rad/s] になります。

✔　ステップ3：交流バージョンの「オームの法則」で計算！

直流の回路では「電流 ＝ 電圧 ÷ 抵抗」ですよね。 交流の回路でも考え方は全く同じです。ただ「抵抗」の名前が「リアクタンス」に変わるだけです。 「電流 ＝ 電圧 ÷ コンデンサのリアクタンス」になります。

コンデンサのリアクタンス（Xc）の公式は Xc ＝ 1 / ωC です。 これをオームの法則にあてはめると、

最大電流（Im） ＝ 最大電圧（Vm） ÷ Xc 最大電流（Im） ＝ 最大電圧（Vm） × ωC となります。

（※「1 / ωC」で割るので、ひっくり返って掛け算になるのがポイントです！）

あとは数字を代入するだけです。 ここで第二の罠、コンデンサの容量 C は「0.10 μF（マイクロファラド）」です。 「マイクロ」は「10-6」なので、C ＝ 0.10 × 10-6 [F] です。

全部掛け算しましょう！

  • Im ＝ 100 × (π × 103) × (0.10 × 10-6)
  • Im ＝ (100 × 0.10) × π × 10(3 − 6)
  • Im ＝ 10 × π × 10-3 [A]

ここで、問題文は「何 mA（ミリアンペア）ですか？」と聞いています。 「10-3 [A]」は、そのまま「mA」のことです！ つまり、 Im ＝ 10 × π [mA]

π（円周率）は約 3.14 なので、 Im ＝ 10 × 3.14 ＝ 31.4 [mA]

出題者の“声”

この問題は、「単位の接頭語（m、μ、kなど）」にどれだけ注意を払えるか、そして「グラフから物理現象を読み取れるか」を試しておる。

数式だけを丸暗記している学生は、「ω＝2πf」は知っていても、グラフから周波数(f)や周期(T)を見つけることができずパニックになる。 そして、横軸の「ms」や、コンデンサの「μF」を見落として、答えが1000倍ずれたりしてしまうんじゃ。

医療現場では、ミリ（10-3）とマイクロ（10-6）の桁間違いは、患者さんの命に関わる重大な医療事故に直結する。 ただの計算問題ではなく、「単位を正確に扱う注意力」を見るための、とても実務的な問題なんじゃよ。

臨床の“目”で読む

－コンデンサに流れる交流電流なんて、X線撮影に関係あるの？－

実は、X線発生装置（インバータ式装置など）の内部では、この「コンデンサ」と「交流」が主役として働いています。

コンデンサのリアクタンス（抵抗のようなもの）の式 「Xc ＝ 1 / ωC」 をよく見てください。 ω（周波数）が大きくなればなるほど、分母が大きくなるので、Xc（抵抗）は小さくなります。 つまり、「コンデンサは、周波数が高い（波が速い）交流ほど、電流をよく通す」という性質を持っています。

X線装置では、商用電源（50Hz/60Hz）を一度直流にし、そこからインバータ回路を使って「数万Hz（高周波）」という非常に速い交流を作り出します。高周波にすることで、コンデンサやトランスなどの部品をものすごく小さく（抵抗を少なく）でき、装置全体をコンパクトに、かつ大出力にすることができるのです。

計算式の裏には、私たちが毎日使っている最新のX線装置を小型化するための、偉大な電気工学の工夫が隠されています。

今日のまとめ

  1. 周期（T） ＝ グラフの1回分の波の長さ。「ms（ミリ）」を見落とさない！
  2. 角周波数（ω） ＝ 2π / T
  3. コンデンサのリアクタンス Xc ＝ 1 / ωC
  4. 交流のオームの法則！ 電流は 「電圧 ÷ Xc」 （つまり V × ωC になる！）

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