NEW!【第76回 午前 48】捨て問にするのはもったいない！3秒で解けるオイラーの正体

医療画像情報学

フーリエ変換は、式 F(u)=∫−∞∞f(x)e−i2πuxdxF(u) = ∫_{-∞}^{∞} f(x) e^{-i2πux} dx で表される。
この式の核関数である e−i2πuxe^{-i2πux} は Euler〈オイラー〉の公式を用いるとどのように書けるか。

ただし、u：空間周波数、x：位置、f(x)：空間関数、F(u)：f(x)のフーリエ変換、i：虚数単位とする。

  1. cos(2πux)+sin(2πux)cos(2πux) + sin(2πux)
  2. cos(2πux)−sin(2πux)cos(2πux) − sin(2πux)
  3. cos(2πux)+isin(2πux)cos(2πux) + i sin(2πux)
  4. cos(2πux)−isin(2πux)cos(2πux) − i sin(2πux)
  5. cos(−2πux)−isin(−2πux)cos(−2πux) − i sin(−2πux)

出典：厚生労働省公開PDF（令和6年版）

4．cos(2πux)−isin(2πux)cos(2πux) − i sin(2πux)

解説

✔　見た目で逃げない！ これは「間違い探し」だ

問題文には、長くて難しい積分の式が書いてありますが、これらは全て「飾り」です。 聞かれているのは、たったこれだけ。

「 eiθe^{iθ} を別の書き方に直せますか？」

ここで登場するのが、数学界で最も美しいと言われる「オイラーの公式」です。 教科書的な定義はこうです。

eiθ=cosθ+isinθe^{iθ} = cos θ + i sin θ

覚え方は、「e の肩に i が乗っていたら、コサイン + アイ・サイン」。これだけです。今回の問題は、肩に乗っているのが「プラス」ではなく「マイナス（−i）」になっていますね。ここが運命の分かれ道です。

✔　プラスならプラス、マイナスならマイナス

オイラーの公式には、超シンプルなルールがあります。

  • 肩がプラスなら、真ん中もプラス
  • e+iθ→cosθ+isinθe^{+iθ} → cos θ + i sin θ
  • 肩がマイナスなら、真ん中もマイナス
  • e−iθ→cosθ−isinθe^{−iθ} → cos θ − i sin θ

今回の問題を見てみましょう。

e−i(2πux)e^{−i(2πux)}

しっかりとマイナスがついています。（※ 2πux という長い文字は、全部まとめて θ という「中身」だと思って無視してください！）

よって答えは、真ん中がマイナスになっているもの。

さらに、オイラーの公式には必ず虚数単位「i」が必要です（アイ・サイン）。

  • 選択肢1, 2 ➡ 「i」がないので論外。
  • 選択肢3 ➡ 真ん中が「プラス」なので不正解。
  • 選択肢4 ➡ 真ん中が「マイナス」で「i」がある。これが正解

出題者の“声”

この問題を見て「数学無理！」とあきらめてしまった者もおるかもしれん。 しかし、あえてこの問題を出したのは、「MRIの生データ”の正体」を知っておいてほしいからじゃ。

MRIで撮影したデータ（k空間データ）は、実はこの式のように「複素数（実部と虚部）」で記録されておる。

  • 実部 ＝ コサイン成分
  • 虚部 ＝ サイン成分

この2つが合わさっているからこそ、MRIは画像の「信号値」だけでなく、「位相」の情報も持てるんじゃ。 数式を解けとは言わん。ただ、「画像は波（サイン・コサイン）の集まりでできている」というデジタル画像の根源を、この式を通して感じ取ってほしいんじゃよ。

臨床の“目”で読む

この数式、実は「MRI画像そのもの」を表しています。現場では次のように使い分けられています。

  • 普段見ているのは「絶対値画像」
    • 私たちが診断で使う白黒画像は、オイラーの公式の実部（cos）と虚部（sin）を計算して、信号の強さだけを取り出したものです（√（実部²＋虚部²）。複雑な計算の結果、あの見やすい画像ができあがります。
  • 角度を見る「位相画像」
    • 一方、信号の強さではなく「ズレ（角度）」を画像化したのが位相画像です。血流速度を測る検査や、脂肪と水を分ける（Dixon法）ときには、この「オイラーの公式の角度成分」が主役になります。
  • 「ゴースト」は計算のズレ
    • 体動などでデータがズレると、計算が合わなくなって画像にゴーストアーチファクトが現れます。「画像は波（sin, cos）の計算でできている」と知っていれば、アーチファクトの原因も「ただの計算ミス（位相エラー）なんだな」と論理的に理解できます。

今日のまとめ

  1. 難しい積分記号は無視！ これは「オイラーの公式」の形当てクイズ。
  2. eiθ=cosθ+isinθe^{iθ} = cos θ + i sin θ（コサイン ＋ アイ・サイン）。
  3. 肩がマイナスなら、真ん中もマイナスになる。
  4. この式は、MRIデータが「実部（cos）」と「虚部（sin）」でできていることを表している。

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